部分分数分解 CheatSheet

1. 分母に二乗式があるタイプの分数の部分分数分解法

分母に \( (s+a)^2 \) のような二乗項が含まれる場合、次のように部分分数分解を行います。

\[ \frac{P(s)}{(s+a)^2} = \frac{A}{s+a} + \frac{B}{(s+a)^2} \]
例：\(\frac{s+3}{(s+1)^2}\) を分解
仮定：\(\frac{s+3}{(s+1)^2} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^2}\)
通分して整理：\(s+3 = A(s+1) + B\)
展開：\(s+3 = As + A + B\)
係数比較（\(s\) の係数）：\(1 = A\) より \(A = 1\)
係数比較（定数項）：\(3 = A + B = 1 + B\) より \(B = 2\)
結果：\(\frac{s+3}{(s+1)^2} = \frac{1}{s+1} + \frac{2}{(s+1)^2}\)

2. \((s^2+5)(s+3)\)のような項があるパターン

分母が \((s^2+a)(s+b)\) のような形の場合、次のように部分分数分解を行います。

\[ \frac{P(s)}{(s^2+a)(s+b)} = \frac{As+B}{s^2+a} + \frac{C}{s+b} \]
例：\(\frac{s+7}{(s^2+5)(s+3)}\) を分解
仮定：\(\frac{s+7}{(s^2+5)(s+3)} = \frac{As+B}{s^2+5} + \frac{C}{s+3}\)
通分して整理：\(s+7 = (As+B)(s+3) + C(s^2+5)\)
展開：\(s+7 = As^2 + 3As + Bs + 3B + Cs^2 + 5C\)
整理：\(s+7 = (A+C)s^2 + (3A+B)s + (3B+5C)\)
係数比較（\(s^2\) の係数）：\(0 = A+C\)
係数比較（\(s\) の係数）：\(1 = 3A+B\)
係数比較（定数項）：\(7 = 3B+5C\)
連立方程式を解く：\(A = -C\)、\(B = 1-3A\)、\(7 = 3B+5C\)
代入計算：\(A = -\frac{2}{7}\)、\(B = \frac{13}{7}\)、\(C = \frac{2}{7}\)
結果：\(\frac{s+7}{(s^2+5)(s+3)} = \frac{-\frac{2}{7}s + \frac{13}{7}}{s^2+5} + \frac{\frac{2}{7}}{s+3}\)

3. 逆ラプラス変換で分子に\(s\)を残したくない場合

逆ラプラス変換の過程で分子に \( s \) を残したくない場合、以下の方法を試みます。

例1：\(\frac{s}{s^2+4}\) の逆ラプラス変換
分子を導関数の形に調整：\(\frac{s}{s^2+4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2s}{s^2+4}\)
\(\frac{2s}{s^2+4}\) は \(\frac{d}{ds}(s^2+4)\) の形に比例
公式 \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+a^2}\right\} = \cos(at)\) を適用
結果：\(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+4}\right\} = \frac{1}{2} \cos(2t)\)
例2：\(\frac{s+3}{s^2+4s+5}\) の逆ラプラス変換
分母を完全平方完成：\(s^2+4s+5 = (s+2)^2 + 1\)
分子を \(s+2\) と定数に分ける：\(s+3 = (s+2) + 1\)
分数を分解：\(\frac{s+3}{(s+2)^2+1} = \frac{s+2}{(s+2)^2+1} + \frac{1}{(s+2)^2+1}\)
置換 \(u = s+2\) とすると：\(\frac{u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1}\)
公式適用：\(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{u}{u^2+1}\right\} = \cos(t)\)、\(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{u^2+1}\right\} = \sin(t)\)
シフト定理により \(e^{-2t}\) を掛ける
結果：\(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+3}{s^2+4s+5}\right\} = e^{-2t}\cos(t) + e^{-2t}\sin(t)\)

4. 1. と 2. が組み合わさったパターン

分母が \((s+a)^2(s^2+b)\) のような形の場合、以下のように部分分数分解を行います。

\[ \frac{P(s)}{(s+a)^2(s^2+b)} = \frac{A}{s+a} + \frac{B}{(s+a)^2} + \frac{Cs+D}{s^2+b} \]
例：\(\frac{s+7}{(s+3)^2(s^2+5)}\) を分解
仮定：\(\frac{s+7}{(s+3)^2(s^2+5)} = \frac{A}{s+3} + \frac{B}{(s+3)^2} + \frac{Cs+D}{s^2+5}\)
通分して整理：\(s+7 = A(s+3)(s^2+5) + B(s^2+5) + (Cs+D)(s+3)^2\)
展開：\(s+7 = A(s^3 + 3s^2 + 5s + 15) + B(s^2 + 5) + (Cs+D)(s^2 + 6s + 9)\)
さらに展開：\(s+7 = As^3 + 3As^2 + 5As + 15A + Bs^2 + 5B + Cs^3 + 6Cs^2 + 9Cs + Ds^2 + 6Ds + 9D\)
整理：\(s+7 = (A+C)s^3 + (3A+B+6C+D)s^2 + (5A+9C+6D)s + (15A+5B+9D)\)
係数比較：
  • \(s^3\) の係数：\(0 = A + C\)
  • \(s^2\) の係数：\(0 = 3A + B + 6C + D\)
  • \(s\) の係数：\(1 = 5A + 9C + 6D\)
  • 定数項：\(7 = 15A + 5B + 9D\)
連立方程式を解く：
  • 1つ目の式より：\(C = -A\)
  • これを他の式に代入し、\(A, B, D\) を求める。
  • 最終的に：\(A = -\frac{1}{8}, B = \frac{1}{4}, C = \frac{1}{8}, D = \frac{3}{4}\)
結果： \[ \frac{s+7}{(s+3)^2(s^2+5)} = \frac{-\frac{1}{8}}{s+3} + \frac{\frac{1}{4}}{(s+3)^2} + \frac{\frac{1}{8}s + \frac{3}{4}}{s^2+5} \]

5. 分母に \((s+a)(s+b)^2\) のような項があるパターン

分母が \((s+a)(s+b)^2\) のような形の場合、以下のように部分分数分解を行います。

\[ \frac{P(s)}{(s+a)(s+b)^2} = \frac{A}{s+a} + \frac{B}{s+b} + \frac{C}{(s+b)^2} \]
例：\(\frac{s+5}{(s+3)(s+1)^2}\) を分解
仮定：\(\frac{s+5}{(s+3)(s+1)^2} = \frac{A}{s+3} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{(s+1)^2}\)
通分して整理：\(s+5 = A(s+1)^2 + B(s+3)(s+1) + C(s+3)\)
展開：\(s+5 = A(s^2 + 2s + 1) + B(s^2 + 4s + 3) + C(s + 3)\)
さらに展開：\(s+5 = As^2 + 2As + A + Bs^2 + 4Bs + 3B + Cs + 3C\)
整理：\(s+5 = (A+B)s^2 + (2A+4B+C)s + (A+3B+3C)\)
係数比較：
  • \(s^2\) の係数：\(0 = A + B\)
  • \(s\) の係数：\(1 = 2A + 4B + C\)
  • 定数項：\(5 = A + 3B + 3C\)
連立方程式を解く：
  • 1つ目の式より：\(B = -A\)
  • これを他の式に代入し、\(A, C\) を求める。
  • 最終的に：\(A = 2, B = -2, C = 3\)
結果： \[ \frac{s+5}{(s+3)(s+1)^2} = \frac{2}{s+3} - \frac{2}{s+1} + \frac{3}{(s+1)^2} \]